Informationen zur Chaosphysik

Chaotische Systeme unterliegen einer nichtlinearen Dynamik: Wirkungen beeinflussen durch Rückkopplungen die Ursachen. Der Ordnungsparameter r ist eine die physikalischen Eigenarten des Systems charakterisierende Größe (z.B. eine Vermehrungsrate, eine Dämpfung, eine Wechselwirkungsstärke).

Wächst der Ordnungsparameter r eines Systems so entstehen aus einem stabilen Zustand zwei neue. Bei weiterer Vergrößerung von r verdoppelt sich die Anzahl der Zustände bis Chaos entsteht. Bei bestimmten Werten von r bilden sich mitten im Chaos wieder wenige stabile Zustände aus. So sind Ordnung und Chaos miteinander verknüpft. Sie sind keine Gegensätze, sondern können ineinander übergehen, zwei Möglichkeiten, in denen selbstoragnisierte Systeme auftreten können.

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Das Feigenbaumdiagramm zeigt selbstähnliche Struktur, d.h. Ausschnitte aus dem Diagramm sind zum Ganzen ähnlich. Dies ist eine charakteristische Eigenschaft von Fraktalen!

Informationen zur Chaosphysik:

-          Was ist Chaos?

Immer wenn die Beziehungen zwischen Ursachen und Wirkungen nichtlinear sind, können Rückkopplungen auftreten, d.h. Wirkungen können Ursachen verändern. So entstehen Prozesse der Selbstorganisation, die sowohl chaotisch ablaufen aber auch Strukturen erzeugen (wie Galaxienbildung, Ameisenstaaten, Organismen, Evolution, Bewusstsein).

-          Eigenschaften chaotischer Systeme:

Die Entwicklung chaotischer Systeme verläuft nicht zufällig, sondern ist durch streng determinierte Naturgesetze bestimmt.

Wegen der Nichtlinearität aber hängt die Entwicklung extrem empfindlich von den Anfangsbedingungen ab. Zu Beginn ähnliche Entwicklungen entwickeln sich schnell exponentiell auseinander.Das ist der Grund warum chaotische Systeme zwar streng determiniert sind aber keine Vorhersage im beobachtbaren Verhalten gestatten.

Verändert man einen Systemparameter, so kann das System aus einem stabilen Zustand zwei stabile Zustände und dann vier und dann 8 stabile Zustände machen. Dies nennt man unglücklicherweise eine Periodenverdopplung, es ist besser eine Verdopplung möglicher stabiler Zustände. Das Fachwort heißt Bifurkation (weil das im Feigenbaumdiagramm wie eine Gabel aussieht). Ändert man den Systemparameter weiter, so treten schließlich alle möglichen Zustände auf. Das System verhält sich chaotisch.

Es gibt aber auch noch andere Wege von der Ordnung ins Chaos als den der Periodenverdopplung.

-          Seltsame Attraktoren:

Die menge aller möglichen stabilen Endzustände eines Systems nennt man Attraktor. Chaotische Systeme entwickeln sich häufig auf einen solchen Attraktorzustand hin. Dabei aber bleiben die chaotischen Eigenschaften erhalten: Obwohl nur eine begrenzte Anzahl von Endzuständen im Attraktor liegen, laufen die Entwicklungen exponentiell auseinander. Der Attraktor zieht also die Entwicklungen an und schleudert sie dann in seinem begrenzten Inneren exponentiell auseinander. Das geht nur, wenn der Attraktor fraktale Strukturen hat, eben seltsam ist.

-          Eigenschaften von Fraktalen:

Fraktale sind extrem komplizierte geometrische Gebilde, die aber durch einfache Regeln (und Rückkopplungen) erzeugt werden (ihr habt bestimmt einige bei der Videorückkopplung gesehen). Sie sind wieder in sich selbst zerlegbar, sie sind selbstähnlich, d.h. in jedem Teil von ihnen steckt ein Bild des ganzen (ein Farnzweig sieht entsprechend vergrößert wie ein Farn aus). Fraktale haben gebrochenzahlige Dimensionen, so hat z.B. Kleinfeld 1990 entdeckt, das neuronale Aktivitäten im menschlichen Gehirn fraktale Muster bilden, die die Dimension 1,7 +/- 0,1 besitzen, also fast flächenförmig sind,  deutlich mehr als linear.

-          Beschreibung der Entwicklung chaotischer Systeme:

Die Zustände werden mit Zahlen von 0,1,....,n, n+1,....durchnumeriert. Die Entwicklung sieht man besonders gut wenn man Zustand n+1 gegen den Zustand n in einem Graph darstellt.

Manchmal lässt sich eine Formel angegeben, mit der der Übergang zwischen dem Zustand n und n+1 berechnet werden kann. Zu dieser Formel gehört eine Kurve (im Artikel Potential genannt). Zeichnet man zusätzlich die Hauptwinkelhalbierende ein, so kann man mit der Kurve und dieser Geraden die Entwicklung des chaotischen Systems ohne Rechnung als Zick-Zack-Kurve einzeichnen.

Der Kurvenverlauf im Artikel wird durch die Dämpfung verändert. Je nach Dämpfung gibt es verschiedene Endzustände (stabile Amplituden) der Schwingungsentwicklung.

Trägt man diese Endzustände gegen die Dämpfung auf (Abb.9) so erhält man das Feigenbaum-Diagramm, an dem man den Übergang ins Chaos durch „Periodenverdopplung“ erkennen kann.

-          Phasenraumdarstellung:

Ein weitere Möglichkeit mit Hilfe komplizierter Messungen oder Computersimulationen die Entwicklung eines Systems zu beschreiben sind Phasenraumdarstellungen. Das hat nur manchmal was mit Phasen zu tun, eigentlich werden immer nur zwei verschiedene das System beschreibende Größen gegeneinander aufgetragen.

In dem Artikel wird die Auslenkung und die Änderung der Auslenkung (also die Winkelgeschwindigkeit zum gleichen Entwicklungszeitpunkt bestimmt und in ein Koordinatensystem eingetragen. Macht man das nacheinander für alle Entwicklungsschritte, so erhält man (jeweils für eine feste Dämpfung!) die Entwicklung des Systems im Phasen(raum)diagramm.

Vocabulary:

Perturbation     Störung                                    mapping  Abbildung, Funktion

Phase space Phasenraum                                 Self-similiar structure  selbstähnl.Struktur

Trajectory  Bahn im Phasenraum                         Stable orbit  stabile Bahn

Derivation  Ableitung, Änderung                         fractal dimension